组合数表示的是从 n n 个物品中选出 m m 个物品的方案数。举个例子，从 (1,2,3) (1, 2, 3) 三个物品中选择两个物品可以有 (1,2) (1, 2) ，(1,3) (1, 3) ，(2,3) (2, 3) 这三种选择方法。

根据组合数的定义，我们可以给出计算组合数的一般公式：

Cnm=n!m!(n−m)! C_n ^ m = \frac{n!}{m!(n - m)!}

其中 n!=1×2×⋯×n n! = 1 \times 2 \times \cdots \times n 。

小葱想知道如果给定 n n ，m m 和 k k ，对于所有的 0≤i≤n 0 \leq i \leq n ，0≤j≤min(i,m) 0 \leq j \leq \min(i, m) 有多少对 (i,j) (i, j) 满足是 k k 的倍数。

链接

LYOI#

题解

组合数递推，你们乐意叫Pascal定理就叫好了反正我叫杨辉三角。。。

Cnm=Cn−1m+Cn−1m−1 C_{n}^{m} = C_{n-1}^{m} + C_{n-1}^{m-1}

递推过程中每次取模，若该位取模后为00则记该位答案为11，反之为00，对答案数组求二维前缀和，每次O(1)O(1)查询即可。

总复杂度O(2×20002+T)O(2 \times 2000^2 + T)

代码

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int MAXN = 2000;
int f[MAXN + 1][MAXN + 1], ans[MAXN + 1][MAXN + 1];
int main () {
    freopen("problem.in", "r", stdin);
    freopen("problem.out", "w", stdout);
    int t, k; scanf("%d %d", &t, &k);
    for (int i = 0; i <= MAXN; i++) f[i][0] = f[i][i] = 1;
    for (int i = 2; i <= MAXN; i++) {
        for (int j = 1; j < i; j++) {
            f[i][j] = (f[i - 1][j - 1] + f[i - 1][j]) % k;
            if (f[i][j] == 0) ans[i][j]++;
        }
    }
    for (int i = 1; i <= MAXN; i++) {
        for (int j = 1; j <= MAXN; j++) {
            ans[i][j] = ans[i - 1][j] + ans[i][j - 1] - ans[i - 1][j - 1] + ans[i][j];
        }
    }
    
    while (t--) {
        int n, m; scanf("%d %d", &n, &m);
        printf("%d\n", ans[n][m]);
    }
    fclose(stdin);
    fclose(stdout);
    return 0;
}