W 教授正在为国家航天中心计划一系列的太空飞行。每次太空飞行可进行一系列商业性实验而获取利润。现已确定了一个可供选择的实验集合 E={E1,E2,,Em} E = \{ E_1, E_2, \cdots, E_m \} ,和进行这些实验需要使用的全部仪器的集合 I={I1,I2,,In} I = \{ I_1, I_2, \cdots, I_n \} 。实验 Ej E_j 需要用到的仪器是 I I 的子集 RjI R_j \subseteq I

配置仪器 Ik I_k 的费用为 ck c_k 美元。实验 Ej E_j 的赞助商已同意为该实验结果支付 pj p_j 美元。W 教授的任务是找出一个有效算法,确定在一次太空飞行中要进行哪些实验并因此而配置哪些仪器才能使太空飞行的净收益最大。这里净收益是指进行实验所获得的全部收入与配置仪器的全部费用的差额。

对于给定的实验和仪器配置情况,编程找出净收益最大的试验计划。

链接

LYOI #118 COGS #727

题解

源点与正权点连边,容量为点权值 正权点与负权点连边,容量为负无穷 负权点与汇点连边,容量为点权值绝对值 最大权闭合子图的点权和 = 正点权和 - 最大流

上面讲述了一种通过最大权闭合子图来思考的模式,具体证明见胡伯涛论文。

按照上述方式建图,考虑这张图中割的意义。

割中不应该存在实验连向仪器的边,因为它们的容量是正无穷。那么如果一条源点到实验的边被割开,意味着这个实验被抛弃不做,一条仪器到汇点的边被割去了,意味着这个仪器会被使用,也就是最后的收益要减去仪器的价格。这样求出最小割以后,就可以最小化弃置实验的价值和使用仪器的代价,最终把期望总收益(所有实验的收益和)减去我们得到的最小代价,得到的就是最终的答案。

求最小割: 在包含负权边的网络中沿着未满流的边 bfs, 到达的点打上标记,一条跨越标记点和未标记点的边属于最小割。

代码

我才不要用什么 set_difference 呢。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <climits>
#include <cassert>
#include <new>
#include <algorithm>
#include <sstream>
#include <string>
#include <iostream>
#include <vector>
#include <queue>
const int MAXN = 100;
const int MAXM = 100;
struct Node;
struct Edge;
struct Node {
Edge *e, *c;
int level;
bool chosen, flag;
Node() : e(NULL), c(NULL), level(0), chosen(false), flag(false) {};
} N[MAXM + MAXN + 2];
struct Edge {
Node *fr, *to;
Edge *ne, *rev;
int cap, flow;
bool isCut;
Edge() {}
Edge(Node *fr, Node *to, int cap) : fr(fr), to(to), ne(fr->e), cap(cap), flow(0), isCut(false) {}
} _pool[MAXN * MAXM + MAXN + MAXM + 1000], *_end;
inline void init() {
_end = _pool;
}
inline void addEdge(int fr, int to, int cap) {
N[fr].e = new (_end++) Edge(&N[fr], &N[to], cap);
N[to].e = new (_end++) Edge(&N[to], &N[fr], 0);
N[fr].e->rev = N[to].e, N[to].e->rev = N[fr].e;
}
struct Dinic {
bool makeLevelGraph(Node *s, Node *t, int n) {
for (int i = 0; i <= n; i++) N[i].c = N[i].e, N[i].level = 0;
std::queue<Node *> q;
q.push(s);
s->level = 1;
while (!q.empty()) {
Node *v = q.front();
q.pop();
for (Edge *e = v->e; e; e = e->ne) {
if (e->cap > e->flow && e->to->level == 0) {
e->to->level = v->level + 1;
if (e->to == t) return true;
q.push(e->to);
}
}
}
return false;
}
int findPath(Node *s, Node *t, int limit = INT_MAX) {
if (s == t) return limit;
for (Edge *&e = s->c; e; e = e->ne) {
if (e->cap > e->flow && e->to->level == s->level + 1) {
int flow = findPath(e->to, t, std::min(limit, e->cap - e->flow));
if (flow > 0) {
e->flow += flow;
e->rev->flow -= flow;
return flow;
}
}
}
return 0;
}
int operator()(int s, int t, int n) {
int res = 0;
while (makeLevelGraph(&N[s], &N[t], n)) {
int flow;
if ((flow = findPath(&N[s], &N[t])) > 0) res += flow;
}
return res;
}
} dinic;
void minCut(int s) {
std::queue<Node *> q;
q.push(&N[s]);
N[s].flag = true;
while (!q.empty()) {
Node *v = q.front();
q.pop();
for (Edge *e = v->e; e; e = e->ne) {
if (e->flow < e->cap && !e->to->flag) {
e->to->flag = true;
q.push(e->to);
}
}
}
for (Edge *e = _pool; e != _end; e++) {
if (e->fr->flag && !e->to->flag) e->isCut = true;
}
}
int main() {
init();
int n, m, sum = 0;
scanf("%d %d\n", &m, &n);
const int s = 0, t = n + m + 1;
for (int i = 1; i <= m; i++) {
std::string str;
std::getline(std::cin, str);
std::stringstream ss;
ss << str;
int x;
ss >> x;
sum += x;
addEdge(s, n + i, x);
while (!ss.eof()) {
ss >> x;
addEdge(n + i, x, INT_MAX);
}
}
for (int i = 1; i <= n; i++) {
int x;
scanf("%d", &x);
addEdge(i, t, x);
}
int maxFlow = dinic(s, t, t);
minCut(s);
for (Edge *e = _pool; e != _end; e++) {
if (e->isCut) {
if (e->fr - N == s) e->to->chosen = true;
if (e->to - N == t) e->fr->chosen = true;
}
}
for (int i = n + 1; i <= n + m; i++) {
if (!N[i].chosen) printf("%d ", i - n);
}
puts("");
for (int i = 1; i <= n; i++) {
if (N[i].chosen) printf("%d ", i);
}
printf("\n%d\n", sum - maxFlow);
return 0;
}